ラグランジュ乗数法を用いた効率的フロンティアの導出

前回の記事でポートフォリオ理論における「効率的フロンティア」を数式で説明しました。

dic-eft-sr3.hatenablog.com

効率的フロンティア

$\begin{equation} \min_{W}W^TSW \end{equation}$

$s.t.$

$k=W^TR$

$W^T\boldsymbol{1}=1$

これは目的関数である $\begin{equation} \min_{W}W^TSW \end{equation}$ と制約条件である $k=W^TR$ 及び $W^T\boldsymbol{1}=1$ を明示したにすぎません。最終的な目的としては、上記の制約条件を満たしつつ、目的関数（ここではポートフォリオの分散）が最小となる構成比率のベクトル $W$ を求めることです。

この問題のように条件が与えられているもとで、ある関数の極値を求めることを「条件付き極値問題」といいます。このときの解決方法として有力になるのが「ラグランジュ乗数法」です。この記事では上記に示したポートフォリオ理論における効率的フロンティアの導出をラグランジュ乗数法を用いて解いていきます。

ラグランジュ関数を作り、偏微分してゼロと置く

先に示した効率的フロンティアの最適化条件から、ラグランジュ関数を作ると以下のようになります。

$\begin{eqnarray}L(W,λ_1,λ_2)=W^TSW+λ_1(k-W^TR)+λ_2(1-W^T\boldsymbol{1})\tag{1}\end{eqnarray}$

この式(1)をそれぞれ $W,λ_1,λ_2$ で偏微分します。

$\frac{∂L}{∂W^T}=2SW-λ_1R-λ_2\boldsymbol{1}=\boldsymbol{0^T}\tag{2}$

$\frac{∂L}{∂λ_1}=k-W^TR=0\tag{3}$

$\frac{∂L}{∂λ_2}=1-W^T\boldsymbol{1}=0\tag{4}$

式(2)を「 $W＝～$ 」となるように式変形します。

$W=\frac{1}{2}λ_1S^{-1}R+\frac{1}{2}λ_2S^{-1}\boldsymbol{1}\tag{5}$

式(5)に左から $R$ を掛けます。

$R^TW=\frac{1}{2}λ_1R^TS^{-1}R+\frac{1}{2}λ_2R^TS^{-1}\boldsymbol{1}$

制約条件より $W^TR=R^TW=k$ となるので以下の式を得ます。

$k=\frac{1}{2}λ_1R^TS^{-1}R+\frac{1}{2}λ_2R^TS^{-1}\boldsymbol{1}\tag{6}$

また、同じく式(5)に左から $\boldsymbol{1}$ を掛けます。

$\boldsymbol{1}^TW=\frac{1}{2}λ_1\boldsymbol{1}^TS^{-1}R+\frac{1}{2}λ_2\boldsymbol{1}^TS^{-1}\boldsymbol{1}$

制約条件より $W^T\boldsymbol{1}=\boldsymbol{1}^TW=1$ となるので以下の式を得ます。

$1=\frac{1}{2}λ_1\boldsymbol{1}^TS^{-1}R+\frac{1}{2}λ_2\boldsymbol{1}^TS^{-1}\boldsymbol{1}\tag{7}$

$λ_1$ と $λ_2$ の値を求める

式(6)、(7)より以下のような2元連立方程式が得られます。

$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}λ_1R^TS^{-1}R+\frac{1}{2}λ_2R^TS^{-1}\boldsymbol{1}=k\\ \frac{1}{2}λ_1\boldsymbol{1}^TS^{-1}R+\frac{1}{2}λ_2\boldsymbol{1}^TS^{-1}\boldsymbol{1}=1 \end{array}\right.$

これを行列によって表現します。

$\begin{pmatrix} {R^TS^{-1}R　} \; {R^TS^{-1}\boldsymbol{1}} \\ {\boldsymbol{1}^TS^{-1}R　} \; {\boldsymbol{1}^TS^{-1}\boldsymbol{1}} \:\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {\frac{1}{2}λ_1} \\{\frac{1}{2}λ_2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {k} \\{1} \end{pmatrix}\tag{8}$

わかりやすくするために係数行列の要素を他の文字に置き換えていきます。

係数行列の非対角要素である「 $R^TS^{-1}\boldsymbol{1}$ 」と「 $\boldsymbol{1}^TS^{-1}R$ 」は同じ値になっているので、これを「 $A$ 」と置きます。

$A=R^TS^{-1}\boldsymbol{1}=\boldsymbol{1}^TS^{-1}R$

また、係数行列の左上、右下それぞれの要素を以下のように置きます。

$B=R^TS^{-1}R$

$C=\boldsymbol{1}^TS^{-1}\boldsymbol{1}$

上記の表現を使って、式(8)を置き換えると

$\begin{pmatrix} {B　} \; {A} \\ {A　} \; {C} \:\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {\frac{1}{2}λ_1} \\{\frac{1}{2}λ_2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {k} \\{1} \end{pmatrix}$

となります。 $λ_1$ 、 $λ_2$ に掛けられる $\frac{1}2$ は以下のように移項することができます。

$\begin{pmatrix} {B　} \; {A} \\ {A　} \; {C} \:\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {λ_1} \\{λ_2} \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} {k} \\{1} \end{pmatrix}\tag{9}$

また、以下のような係数行列の行列式を作ることができます。

$D=BC-A^2\tag{10}$

以上の数式を使い、 $λ_1$ と $λ_2$ を求めましょう。

式(9)に $\begin{pmatrix} {B　} \; {A} \\ {A　} \; {C} \:\end{pmatrix}$ の逆行列を掛けます。

${\frac{1}D}\begin{pmatrix} {C　} \; {-A} \\ {-A　} \; {B} \:\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {B　} \; {A} \\ {A　} \; {C} \:\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {λ_1} \\{λ_2} \end{pmatrix}={\frac{2}D}\begin{pmatrix} {C　} \; {-A} \\ {-A　} \; {B} \:\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {k} \\{1} \end{pmatrix}$

これを解いていきます。

$\begin{pmatrix} {1　} \; {0} \\ {0　} \; {1} \:\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {λ_1} \\{λ_2} \end{pmatrix}={\frac{2}D}\begin{pmatrix} {kC-A} \\ {-kA+B} \:\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} {λ_1} \\{λ_2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {\frac{2(kC-A)}D} \\ {\frac{2(B-kA)}D} \end{pmatrix}$

よって、 $λ_1$ と $λ_2$ は以下のように求めることができます。

$\begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{ll} λ_1=\frac{2(kC-A)}D \\ λ_2=\frac{2(B-kA)}D \end{array}\right.\end{eqnarray}\tag{11}$

最適なポートフォリオの構成比率ベクトル $W$ の式を導出する

式(11)を式(5)に代入すると最適なポートフォリオの構成比率のベクトル $W$ が以下のように示すことができます。

$W=\frac{1}{2}{\frac{2(kC-A)}D}S^{-1}R+\frac{1}{2}{\frac{2(B-kA)}D}S^{-1}\boldsymbol{1}$

$W={\frac{(kC-A)}D}S^{-1}R+{\frac{(B-kA)}D}S^{-1}\boldsymbol{1}\tag{12}$

また、この式(12)を $k$ に関して整理すると

$=\frac{kC(S^{-1}R)-A(S^{-1}R)+B(S^{-1}\boldsymbol{1})-kA(S^{-1}\boldsymbol{1})}{D}$

$=\frac{B(S^{-1}\boldsymbol{1})-A(S^{-1}R)}D+k{\frac{C(S^{-1}R)-A(S^{-1}\boldsymbol{1})}D}$

となり、「 $\frac{B(S^{-1}\boldsymbol{1})-A(S^{-1}R)}D=\boldsymbol{h}$ 」、「 ${\frac{C(S^{-1}R)-A(S^{-1}\boldsymbol{1})}D}=\boldsymbol{g}$ 」に置き換えると以下の式(13)ような $k$ に関する一次式になることがわかります。