お金の算数

ローンや資産運用について数学的見解を交えて考察しています

元金定額方式と元利定額方式のリボ払いの比較

この記事では元金定額方式と元利定額方式リボ払いの支払い回数や支払利息の違いについて説明していきます。

 

結論から言うと元金定額方式と元利定額方式、想像以上に支払金額が変わってきます！

 

早速、それぞれの支払方法についてみていきましょう。

 

元金定額方式リボ払い

まず初めに元金定額方式リボ払いについて説明します。

 

元金定額方式とは支払う「元金」が毎回同じということです。

具体的にみていきましょう。

 

  • 利用金額：50万円
  • 年利：15％
  • 毎月支払元金：2万円

 

上記の条件で元金定額方式のリボ払いを利用した場合、支払い回数は

 

 

\frac{500,000}{20,000}=25(回)

 

となり、支払利息の総額は

 

500,000×0.0125-\frac{1}{2}×25×20,000×0.0125＝81,250(円)

 

となります。支払利息方式の総額を求める式について詳しく知りたい方は以下の記事を見てください。

 

dic-eft-sr3.hatenablog.com

 

どうですか？25回の支払い、毎月払いとすれば2年と1か月ですが長いと感じましたか？また、支払利息の総額が81,250円ですが高いと感じましたか？

 

私自身の感想は81,250円も払うのは高いなーと思いました・・・

 

元利定額方式リボ払い

続いて元利定額方式リボ払いについてみていきましょう。

元利定額方式とは毎回の支払い元金と利息の総額が定額になる支払い方法です。

 

例えば

 

  • 利用金額：50万円
  • 年利：15％
  • 毎月支払額：2万円

 

なら第一回目の支払いは

 

利息部分が

 

500,000×0.0125=6,520(円)

 

 元本部分が

 

20,000-6,250=13,750(円)

 

となります。毎月の支払い元本が元金定額方式よりも少なくなるので、当然支払回数も元金定額方式よりも元利定額方式のほうが多くなります。具体的には・・・

 

\frac{log(\frac{20,000}{20,000-500,000・0.0125})}{log{1.0125}}＝30.16≒31(回)

 

と計算されます。また支払利息の総額は

 

20,000×\frac{log(\frac{20,000}{20,000-500,000・0.0125})}{log{1.0125}}-500,000=103,248(円)

 

となります。

 

dic-eft-sr3.hatenablog.com

 

支払回数は6回(半年)も長くなり、支払利息の総額は21,998円も高くなります！

提示される金額が同じでも、支払方法が違うだけで大きな差がでてくるとわかります。

 

毎回の支払金額が違えば？

 それでは、毎回の返済金額が違えばどれだけ支払回数や支払利息の総額が変わってくるのか見ていきましょう！

 

利用金額は50万円、年利は15％で設定します。

 

まずは元金定額方式から

 

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元金定額方式　「支払回数」と「支払利息の総額」の変遷

 

 

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元金定額方式　支払利息の総額

毎回支払額が少なければ支払利息も多くなるとわかります。

また、支払利息は毎回支払額少なければ急激に多くなり、毎回支払額が多くなれば収束していくことがわかります。

 

 

次に元利定額方式を見ていきましょう

 

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元利定額方式　「支払回数」と「支払利息の総額」の変遷

 

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元利定額方式　支払利息の総額

 

グラスの形状は同じで、毎回支払額が少なければ少ないほど支払利息の総額が多くなるという傾向は同じです。しかし、それがより極端になっています。

 

これは毎回支払額が元利定額方式のほうが元金定額方式よりも少ないので、相対的に支払回数が多くなり、結果的に支払利息の総額が多くなっているからです。

 

元金定額方式と元利定額方式の支払利息の総額のグラフを合わせると以下のようになります。

 

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元利定額ｖｓ元利定額　支払利息の総額

 

重ねるとその違いがよくわかります！

リボ払いで元金定額方式と元利定額方式では、提示されてる条件は同じでも、最終的に支払う利息や支払回数は大きく違ってきます。

特に毎回支払額が少なければ要注意です！

 

もちろん、元金定額方式がお得ということを言いたいのではありません。

 

いずれにしろ、毎回支払額を多くするか、できるならば一括で支払ましょう。

 

 

 

 

一般化について書いてみました

前回までの記事で元金定額方式と元利定額方式の返済回数や支払利息の総額を一般化した式を求めてきました。

 

そもそも一般化とは何かや、一般化して何が嬉しいのかを述べていきたいと思います。

 

ここではG.ポリア著『いかにして問題をとくか』という書籍から参照します。

 

この『いかにして問題をとくか』では数学の問題をとこうとする教師や生徒のために書かれたものです。様々な数学の問題をとおして問題をといていけば良いのか、解説されています。テストの問題を解くのに役立つのももちろんですが、研究やビジネスで解決したい問題や課題に対してもこの著書で述べられている考え方は解決に貢献すると思います。是非一読をお勧めします。

 

さて、話を戻します。著書では一般化について以下のように定義されています。

 

一般化は1つの対象についての考察からその対象を含む集合の考察へうつってゆくことである。あるいは又制限された集合からその集合を含むもっと大きな集合の考察に移ることである。

出典：柿内賢信訳　G.ポリア著（1954）『いかにして問題をとくか』丸善株式会社 

 

少し抽象的でいまいちわかりづらいですね・・・

 

 ここで集合という言葉が使われていますが、高校生のころ数学の授業で一度は学んだ方がほとんどだと思います。

厳密性に欠ける説明になるのですが、集合とは、

「ある数や与えられてる式について、数えたり計算できるものの集まり」

とざっくり理解してください。

ですので、「1つの対象についての考察からその対象を含む集合の考察へうつってゆく」とは、ある特定の計算できる式などからさらに、いろんなパターンで計算できるようにすることができるようになることです。

具体例を示していきましょう。

 

前回書いた記事で元利定額方式リボ払いの返済回数や支払利息の総額について解説していました。

少し振り返ってみましょう。

まず初めに「返済総額50万円、年率15%、毎月返済額2万円」で具体的な数字を使って元利定額リボ払いの返済回数や支払利息を計算しました。

この計算が先ほどの一般化の定義での「1つの対象」にあたります。

 

さらにここから元利均等返済の式を利用して、

返済回数を求める式である

 

n= \frac{log(\frac{x}{x-Ar})}{log{(1＋r)}}　

 

返済総額：A

利率：r

返済回数：n

毎月返済額：x

 

や支払利息の総額を求める以下の式を求めました。

 

x・\frac{log(\frac{x}{x-Ar})}{log{(1＋r)}}－A

 

この式に計算したい数字を代入すれば、いろんなパターンの返済回数や支払利息の総額を計算することができます。もちろん具体例で挙げた「返済総額50万円、年率15%、毎月返済額2万円」も計算できます。

このことが先ほどの一般化の定義での「1つの対象についての考察からその対象を含む集合の考察へうつってゆくこと」または「制限された集合からその集合を含むもっと大きな集合の考察に移ること」にあたります。

 

ここまで一般化について説明しましたが、一般化して何が嬉しいのか考察していきます。

 

『いかにして問題をとくか』では一般化する目的の一つを以下のように述べています。

 

数に関する問題から文字（量）に関する問題に移ることは1つの新しい発展であり、われわれはデータを変化させることによりいろいろな仕方で結果が正しいかどうかを試すことができるのである。

出典：柿内賢信訳　G.ポリア著（1954）『いかにして問題をとくか』丸善株式会社

 

つまり、今回の元利定額リボ払いの返済回数や支払利息の総額を具体例では毎月返済額2万円で計算していました。しかし、他にも1万円や5万円などデータを変化させて求めた式から計算することができます。

 

このことができることによって、1万円で返済していく場合と2万円で返済していく場合では支払利息の総額にどれだけの差が出てくるのか比べることができます。

 

リボ払いでは毎月返済額を大きくしないと、多く利息を取られてしまうので、できるだけ毎月返済額を大きくするか、一括で返済するように勧められています。それでどれくらい被害を抑えることができるのか把握することは非常に重要ですね。

 

一般化はそれ自体が目的ではありません。具体例から考えて、一般化して、それが済んだら必ずいろんなパターンを計算します。そこで発見や新たな知見が生まれてくるのです。

 

一般化は次の具体的な計算をすることまでがセットです。

ということで、次回は前回までの記事で求めた一般化した式を利用してリボ払いの返済回数や支払利息の総額をいろんなパターンで計算していきましょう。

 

 

 参考文献

  • G.ポリア著　柿内賢信訳　（1954）『いかにして問題をとくか』丸善株式会社

 

数学ガールでは実際に数学の問題をとおして「具体例→一般化→検算」を実践しています。この記事の内容は数学ガールで学んだ考え方を大いに参考にさせて頂きました。

 

 

 

元利定額方式リボ払い：「返済回数」及び「支払利息の総額」の一般化

 

前回は元金定額方式リボ払いについて解説しました。

今回はもう一つの定額方式、元利定額方式リボ払いについて解説していきます。

 

元利定額方式リボ払いは、毎回支払う利息と元金の合計が同じになるように設定されています。

具体例でみていきましょう。

 

返済総額50万円、年率15％、毎月返済額2万円

 

で設定されている元利定額方式リボ払いなら第1回の支払利息は

 

500,000円×0.0125＝6,250円

 

0.0125は15％÷12か月

 

元金は

 

20,000円－6,250円＝13,750円

 

となります。

毎月の支払総額が2万円と定められているので、利息の分だけ元金の支払いが減少します。元金定額方式なら元金を2万円返せるのですが、元利定額方式は「2万円－支払利息」分しか元金を返済できません。

 

なので、元金定額方式よりも元利定額方式のほうが、返済期間が長くなり、支払利息も多くなります。

実際にシミュレーションしてみました。(表1)

 

 

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表１　元利定額方式リボ払い（返済総額50万円、年率15％、毎月返済額2万円）

 返済回数は31回で支払利息の合計は103,248円。

比較のために元金定額方式リボ払いでも同じ条件でシミュレーションしてみました。(表2)

返済回数は25回で支払利息の合計は81,250円。

元利と元金で2万円以上の差が出てくるんですね・・・

返済総額が多くなったり、利率が高くなったり、毎月の返済額を少なく設定してしまえば、さらに大きな差が生まれます。

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表２　元金定額方式リボ払い（返済総額50万円、年率15％、毎月返済額2万円）

 元利均等返済の怖いところは毎月の返済総額が決まっているがゆえに、毎月返済できる元金が少なくなってしまうところにあります。

そのことが原因で返済総額や金利が同じでも返済回数や支払利息が多くなってしまいます。

また、元利定額方式は元金定額方式と違い、簡単に返済回数を計算できません。

（元金定額方式はの返済回数は「返済総額÷毎月返済元金」で求めることができます。）

 

もちろんシミュレーションしてみればわかるのですが、ここではあえて元利定額方式の返済回数を求める式を導出していきたいと思います。

 

元利定額方式の返済回数を求める式を導出するにあたって、以下の元利均等返済の毎月返済額を求める式(1)を利用したいと思います。

 

毎月返済額＝返済総額×利率×\frac{(1＋利率)^n}{(1＋利率)^n-1}\tag1
 

 

この式は返済総額、利率、返済回数が決まっていて、毎月元利均等でいくらずつ返済すればいいのか求めるために使います。

 

例えば返済総額100万円、利率0.25％、返済回数60回なら毎月返済額は以下のように求めることができます。

 

1,000,000×0.0025×\frac{(1＋0.0025)^{60}}{(1＋0.0025)^{60}-1} =2,500×7.1874=17,968

 

この式の導出は以下の記事で解説しています。

 

dic-eft-sr3.hatenablog.com

 

この式では返済総額、利率、返済回数から毎月返済額が求められました。

 

 

f(返済総額、利率、返済回数)＝毎月返済額

 

ここで話を戻して、元利定額方式リボ払いについて考えてみましょう。

元利定額方式リボ払いでは返済総額、利率、毎月返済額がわかっています。

つまり、式(1)を変形していって

 

f(返済総額、利率、毎月返済額)＝返済回数

 

という式を導出すれば、それが「元利定額方式リボ払いの返済回数を求める式」になるのです！

 

それでは式を変形していきましょう。

 

簡潔に記述するために以下のように書き換えます

 

返済総額：A

利率：r

返済回数：n

毎月返済額：x

 

すると式(1)は以下のように書き直されます。

 

  x＝A・r・\frac{(1＋r)^n}{(1＋r)^n-1} \tag{1'}

 

それでは導出していきます。

 

\frac{(1＋r)^n}{(1＋r)^n-1}=\frac{x}{Ar}

 

\frac{(1＋r)^n-1+1}{(1＋r)^n-1}=\frac{x}{Ar}

 

1+\frac{1}{(1＋r)^n-1}=\frac{x}{Ar}

 

\frac{1}{(1＋r)^n-1}=\frac{x}{Ar}-1

 

(1＋r)^n-1=\frac{Ar}{x-Ar}

 

(1＋r)^n=\frac{Ar}{x-Ar}+1

 

(1＋r)^n=\frac{Ar}{x-Ar}+\frac{x-Ar}{x-Ar}

 

(1＋r)^n=\frac{x}{x-Ar}

 

\log{(1＋r)^n}=\log(\frac{x}{x-Ar})

 

n・\log{(1＋r)}= \log(\frac{x}{x-Ar})

 

n=\frac{\log(\frac{x}{x-Ar})}{\log{(1＋r)}}

 

導出できました。

返済回数は整数になるので、小数点以下は切り上げます。切り上げを示す"⌈⌉"という記号を使って表します。

 

n=⌈ \frac{\log(\frac{x}{x-Ar})}{\log{(1＋r)}}⌉ \tag2

 

この式(2)で元利定額リボ払いの返済回数を求めることができます。

実際に正しいのか試してみましょう。

先ほどの例から返済総額50万円、年率15％、毎月返済額2万円なら返済回数は31回になるはずです。式(2)に代入して確かめます。

 

⌈\frac{\log(\frac{20000}{20000-500000×0.0125})}{\log{1.0125}}⌉=⌈\frac{\log1.4545}{\log{1.0125}}⌉

 

=⌈\frac{0.374662}{0.012422}⌉=⌈30.16⌉=31

 

確かに返済回数を求めることができそうです。

 

ついでに支払利息の総額を求める式は

 

毎月返済額×返済回数－返済総額

 

なので、

 

x・⌈\frac{\log(\frac{x}{x-Ar})}{\log{(1＋r)}}⌉－A

 

と計算できます。

先ほどの例では

 

20,000・31－500,000=120,000

 

と計算され12万円の利息だとわかります。

これらの式さえ分かっていれば、元利定額方式リボ払いの返済回数及び支払利息の総額を求めることができるので、もし皆さんが元利定額方式リボ払いを勧められてこられれば利用してください。

 

元金定額リボ払いの仕組みと支払利息の計算方法

みなさん、リボ払いしてますか？

 

リボ払いは危険だから絶対にしてはダメ！という記事や動画がたくさんあります。それらを見て危険性を理解して手を出さないようにしている方がほとんどだと思います。

 

しかし、リボ払いを知らないうちにしてしまっている場合もあります。

私自身、そのような経験があります。

ひげの脱毛をしようと決意し、体験脱毛に行きました。体験脱毛が終わり、悪くないと思ったのでその日のうちの契約しようと思い手続きに進みました。

脱毛のリスクや普段のケアやその他さまざまな説明を受けた後、支払いの話になりました。説明事項が多くて、正直面倒くさくなって話を適当に受け流し契約書にサインしていました。

 

後日、契約書を読み返すと支払い方法がリボ払いになっていることに気づきました。

手数料だけで6万円ほど支払うことになっていました。

すぐに電話して契約を破棄し、事なきを得ましたがなかなか恐ろしいものだと実感しました。

 

そんなことがきっかけでリボ払いについて詳しく調べてみました。

 

一口にリボ払いといっても、いくつかの種類があります。

まとめると以下のようになります。

 

  • 定額方式
    • 元金定額方式
    • 元利定額方式

 

  • 残高スライド方式

 

  • 定率方式

 

 

今回は、「定額方式」について詳しくみていきましょう。

 

定額方式はさらに「元金定額方式」と「元利定額方式」の2つに分けられます。

 

「元金定額方式」とは、毎月返済する元金が定額に定められている返済方法です。例えば、返済総額50万円、毎月返済額2万円、年率12％の元金定額方式リボ払いだと第1回は以下の計算で総額25,000円支払うことになります。

 

返済元金：20,000円

支払利息：500,000円×12％÷12か月＝5,000円

支払総額：20,000円＋5,000円＝25,000円

 

続けて、第2回の支払総額は

 

返済元金：20,000円

支払利息：（500,000円－20,000円）×12％÷12か月＝4,800円

支払総額：20,000円＋50,000円＝24,800円

 

となります。

利率は返済時点の残高にかけて計算するので、支払利息は返済していくごとに少なくなっていきます。

 

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支払利息のグラフ

 

返済回数は50万円÷2万円＝25回です。

 

支払利息の総額はどうなるか計算してみましょう。

 

支払利息は、残高×利率で計算します。ここでは毎月返済なので、利率は年利÷12か月で計算します。

第1回の支払利息は以下のように計算されます。

 

  

500,000×0.01=5,000

 

続けて第2回の支払利息も計算します。

 

(500,000-20,000)×0.01＝4,800

 

これらを返済回数分計算して、すべて足していきます。

 

 

(500,000-20,000×0)×0.01+(500,000-20,000×1)×0.01+⋯+(500,000-20,000×24)×0.01・・・①

 

最終返済時は24回分返済しているので、残高は50,000-20,000×24＝20,000になっていることがわかります。

また、便宜的に返済残高を計算するときに

 

(500,000-20,000×0)×0.01+(500,000-20,000×1)

 

のようにあえて0や1の掛け算を省略せずに書きました。

 

ここで、式①を∑を使って記述すると以下のように表現できます。

 

 

\displaystyle{\sum_{k=0}^{24} 0.01(500,000-20,000k) }・・・②

 

 

 

0.01はkとは関係ないので、∑の外に出します。

 

0.01\displaystyle{\sum_{k=0}^{24} (500,000-20,000k)}

 

 

 

 

さらに∑の性質を利用して計算していきます。

 

 

0.01 \displaystyle{\sum_{k=0}^{24} 500,000} -0.01 \displaystyle{\sum_{k=0}^{24} 20,000k}

 

0.01×500,000×25 -0.01×20,000\displaystyle{\sum_{k=0}^{24} k}・・・③

ここで、

\displaystyle{\sum_{k=0}^{24} k}

 

は数列の和の公式より、

\displaystyle{\sum_{k=0}^{24} k}=\frac{1}2×24×25・・・④

 

 

と計算できます。式④を式③に代入すると簡潔な式にすることができます。

 

0.01×500,000×25 -0.01×20,000×\frac{1}2×24×25・・・⑤

 

これを計算すると65,000円になります。

50万円借りて6万円以上も利息も払うことになるんですね・・・

 

ちなみに返済総額、毎月返済額、利率から支払利息の総額を求めるにはこの式を一般化した以下から求めることができます。

 

返済総額×返済回数×利率-\frac{1}2×（返済回数-1）×返済回数×毎月返済額×利率

 

ここで返済回数は返済総額÷毎月返済額です。また、利率も年利÷12か月になっていることに注意してください。

この式を覚えていれば、元金定額方式リボ払いで支払いを進められたときにどれだけ利息を支払うことになるのか求めることができます。

 

ちなみに私はこの式を使っていません。

ざっくりならもっと簡単に計算できるからです。

図を見て頂ければわかるように、元金定額方式リボ払いの支払利息は大体直角三角形になっていることがわかります。この三角形の面積が支払利息の総額なので、三角形の底辺を支払回数、高さを第1回の支払利息に置き換えて求めることができます。

先ほどの例を使うと

 

支払回数×第一回の支払利息÷2

=25×500,000×0.01÷2

=62,500

 

となり、だいたいの支払額はわかります。それでも厳密な支払金額を求めたいのなら「元金定額方式リボ払い　シミュレーション」で検索しましょう。値を入れると一瞬で計算され、サイトによっては毎月の支払利息も計算してくれるので一番おすすめです。

 

ここまで、読んでいただければ元金定額方式リボ払いの仕組みがしっかりとわかっていただけたと思います。リボ払いがなんとなく危険だと知っている方はたくさんいますが、実際にどれだけ支払利息が発生するのか具体的に計算できる方は少ないと思います。

具体的に計算できれば、ぼんやりとしていた恐怖に対して明確な対策ができます。今後、元金定額方式リボ払いを勧められてこられれば今回紹介したように計算してみましょう。

 

また、ポイントをたくさんもらえるからお得になると言われるかたもいらっしゃいますが、そのポイントの総額と支払利息どちらのほうが多くなっているのか比べてみましょう。