現代ポートフォリオ理論の実践【1/2】

はじめに

毎月3万円、インデックスファンドに積み立て投資しています。株価は右肩上がりで資産は順調に増加しています。しかし、あくまでもインデックスファンドなので、リスクが小さく、リターンもそれほど大きくありません。

よくばりな私は少し物足りなさを感じたので、多少お金が貯まったタイミングで個別株を買ってしました。しかも一部上場しているような大企業ではなく、株式会社イグニスというマザーズに上場しているIT系の小型株です。どうせ個別株を保有するのなら、今持っているローリスクローリターンのインデックスファンドとは真逆であるハイリスクハイリターンのほうが面白いと思い購入に至りました。実際に保有してわかるのですが、毎日大きく株価が動きく変動しています。

リスクを避けたいという動機から積み立て投資でインデックスファンドを保有しているのですが、リターンも高くしたいという気持ちもあるので小型の個別株にも投資していしまいました。株式投資でのリスクとリターンは二律背反で、あちらが立てばこちらが立たずという関係になっています。つまり、リスクを抑えたければ、低いリターンで我慢するしなければいけません。その逆に、大きなリターンを得たければ、大きなリスクを許容しなければいけません。それでもよくばりでありながら小心者の私は、少しでもリスクを抑えつつ最大のリターンを得たいと思っています。そこで、今回はそんな小心者のよくばり人間の願いを数学的に解決する現代ポートフォリオについて解説していきたいと思います。

ポートフォリオのリターンとリスク

そもそのポートフォリオとは債券や株券をまとめたファイルのことを言います。それが最近では株式などのいろいろな資産の組合せという意味で使われるようになりました。現代ポートフォリオ理論とは名前の通り、ポートフォリオの組み方に関する理論です。この現代ポートフォリオ理論がすごいのは投資のリスクだけを減らして、リターンを得ることができることを数学的に証明したことです。この理論によってアメリカの経済学者であるハリー・マーコウィッツが1990年にノーベル経済学賞を受賞しました。

早速、この理論について説明していきたいのですがとりあえず、重要なワードを説明しておきます。

平均リターン（期待収益率）

まず、リターン $R$ とは現時点から将来時点における利益または損失を現時点における価格で割ったものです。

${R_t}=\frac{S(t)-S(t-1)}{S(t-1)}$

このリターンが1～ｎまであった場合、平均リターン（期待収益率） $E(R)$ は以下のように計算されます。

$E(R)=\displaystyle{\frac{1}{n}}{\sum_{t=1}^{n} {R_t}}$

リスク（標準偏差）

投資の世界でのリスクは株価のリターンにおける変動の大きさと定義されています。株価が下がることだけがリスクではなく、株価が上がったり下がったりして変動することがリスクとして定義されていることに注意してください。統計学ではデータのばらつきを分散または標準偏差というもので示します。

各データ $R$ から期待値である $E(R)$ を引いた値を偏差と言います。そして、その偏差をそれぞれ二乗し、期待値をとったものを分散といいます。標準偏差は分散の平方根をとったものです。リターンの分散 $V(R)$ は次のように計算されます。

$V(R)=E(((R-E(R))^2)=\displaystyle{\frac{1}{n}}{\sum_{t=1}^{n}( {{R_t}-E(R)})^2}$

さらにこの分散は式をみてわかるように、二乗されています。このことからデータの単位を合わすために平方根をとり、標準偏差 $s$ を定義します。

$s=\sqrt{V(R)}=\sqrt{\displaystyle{\frac{1}{n}}{\sum_{t=1}^{n}( {{R_t}-E(R)})^2}}$

共分散

共分散は2変数のデータが一緒に上がったり、下がったりする相関関係の度合いを表すものです。例えば、株式Aと株式Bの株価を変数とするデータがあるとします。ある時点の株式Aの株価が上がったとき株式Bの株価も上がる（または下がる）という傾向があるかを調べるための指標です。もし、一方が上がれば、もう一方も上がるという傾向があれば、共分散は正の値になります。逆に一方が上がっているが、もう一方は下がっていれば、共分散は負の値になります。ここで、株式Aによる株価のリターンを ${R_A}$ 、平均リターンを $E({R_A})$ とし、株式Bによる株価のリターンを ${R_B}$ 、平均リターンを $E({R_B})$ とします。ここから共分散 $Cov({R_A},{R_B})$ は以下のように表せます。

$Cov({R_A},{R_B})=\displaystyle{\frac{1}{n}}{\sum_{t=1}^{n} {({R_{At}}-{E({R_A})})({R_{Bt}}-{E({R_B})})}}$

相関係数

相関係数は共分散と同じく、2変数の相関関係の度合いを示し、加えて相関関係の強さも表します。1から-1までの値をとり、1に近づけば近づくほど一方が上がれば、一方も上がるという正の相関が強いとわかります。また、-1に近づけば近づくほど、一方が上がれば、もう一方は下がるという負の相関が強いとわかります。さらに、0であれば、2変数のそれぞれのデータに相関関係がないとわかります。相関係数 $ρ$ は数式としては以下のように共分散を2つの変数の標準偏差の積で割って求めることができます。

$ρ_{A,B}=\frac{Cor({R_A},{R_B})}{{\sqrt{V(R_A)}}{\sqrt{V(R_B)}}}$

それでは、ここからは2つの株式からなるポートフォリオの平均リターンとリスクを解説していきます。株式Aの平均リターンを $E({R_A})$ 、株式Bの平均リターンを $E({R_B})$ とします。株式Aと株式Bからなるポートフォリオを所有していたとして、株式Aを $W_A$ 、株式Bを $W_B$ の比率（ $W_A+W_B=1$ ）で組み入れたポートフォリオの平均リターン $E({R_p})$ は次のように計算できます。